Реферат: Економіко-математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів

В основу дослідження покладено європейський опціон на купівлю однієї акції з наступними параметрами: K_s = 5, r_s = 0.04, Т_s = 0.5, σ _s = 0.4. На рис.1 представлений графік функції C_BS та γ _BS для опціону Ō_s = {σ _s , r_s , K_s , T_s }.

Рис.1. Графіки функцій C_BS та γ _BS для опціону Ō_s

Цей рисунок ілюструє, що функція C_BS є монотонно зростаючою по х . При t = Т графік ціни опціону є ламаною лінією − графіком функції max{0, x − K }; з наближенням до t = 0 графік згладжується, проте його характер не змінюється. Аналіз впливу зміни параметрів опціону на функцію C_BS свідчить, що загальна поведінка функції не змінюється. Графіки функцій C ^λ та Ĉ і подібні до графіка C_BS і лежать вище нього. Рис.2 та рис.3 ілюструють вплив операційних витрат та програмної торгівлі на ціну опціону.

Рис.2. Графік різниці функцій C ^λ і C_BS при λ =0,01 ₍ 2.1) та його перетини при t ₁ =Т /4, t ₂ =Т /2, t ₃ =3Т /4 (2.2)

Аналіз рис.2 підтверджує властивості, аналітично отримані у розділі 2:

ціна опціону, яка враховує майбутні витрати, завжди більша за ціну опціону, розраховану за формулою Блека-Шоулза.

операційні витрати спричиняють найбільший вплив на зростання ціни опціону в момент укладання угоди. З часом вплив операційних витрат зменшується.

Аналогічним чином на ціну опціону впливає наявність на ринку програмної торгівлі, про що свідчить рис.3.

Рис.3. Графіки різниці функцій Ĉ і C_BS при ρ =0,01та при t ₁ =Т /4 (3.1), t ₂ =Т /2 (3.2), t ₃ =3Т /4 (3.3)

Результати отримані за допомогою програмного комплексу, розробленого автором в математичному редакторі Mathematica3.0.

З метою з’ясування можливості використання на фінансовому ринку України моделей прогнозування ціни опціону в роботі проведена числова апробація отриманих результатів.

У якості прикладу були розглянуті два типи опціонів:

фондовий опціон: базовий актив - акції Центренерго, ціна базового активу - найкраща ціна акції за день;

валютний опціон: базовий актив - американський долар, ціна базового активу - курс гривні щодо долара США.

У якості ціни реалізації приймалось майбутнє значення ціни базового активу, спрогнозоване на основі попередніх даних. На рис.4 наведені графіки, які ілюструють динаміку цін на базовий актив і опціон і визначаються за допомогою формули (7) при λ = 5% для одного з валютних опціонів.

Рис.4. Динаміка курсу гривні щодо долара США та ціни валютного опціону.

При дослідженні впливу операційних витрат, були проведені підрахунки суми комісійних, які повинен сплачувати продавець опціону. З’ясувалось, що початкова премія за опціон, яка була розрахована на підставі скорегованої моделі, перевищує суму сплачених комісійних та премії, розрахованої за формулою Блека-Шоулза, тобто вона з незначним перебільшенням враховує майбутні комісійні.

З метою виявлення характеру впливу програмної торгівлі були побудовані порівняльні графіки функцій, розрахованих за існуючими формулами Блека-Шоулза і Сіркара-Папаніколау та за формулою, запропонованою автором. Отримані результати ілюструють, що врахування ефекту зворотнього зв’язку приводить до значного збільшення ціни опціону. Причому, чим більше значення параметра ρ , тим більш відчутним є цей вплив. З наближенням дати реалізації опціону цей вплив стає менш відчутним і наприкінці дії опціону він зникає.

ВИСНОВКИ

В дисертації проведено комплексне дослідження процесу формування ціни на ринку опціонів, що базується на поєднанні фінансового та економіко-математичного аналізу. Розроблені методи дозволяють визначати ціну опціону і, відповідно, страт