Реферат: Законы сохранения в механике

[pic].

Сила [pic] – центральна, тому робота цієї сили дорівнює спаданню потенціальної енергії взаємодії даної пари частинок, тобто:

[pic].

Оскільки функція [pic] залежить лише від відстані [pic] між частинками, то зрозуміло, що робота [pic] не залежить від вибору системи відліку.

Тепер звернемось до системи з трьох частинок. Елементарна робота, яку здійснюють всі сили взаємодії при елементарному переміщенні всіх частинок, може бути представлена як сума елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій, тобто [pic]. Але для кожної пари взаємодій, як було показано, [pic], тому:

[pic], де функція [pic] є власною потенціальною енергією даної системи частинок:

[pic].

Оскільки кожний доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними частинками, то очевидно, що власна потенціальна енергія [pic] даної системи залежить від відносного розміщення частинок (в один і той же момент), або, іншими словами, від конфігурації системи.

Зрозуміло, що подібні роздуми справедливі і для системи з довільного числа частинок. Тому можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи частинок властива своя власна потенціальна енергія [pic], і робота всіх внутрішніх центральних сил при зміні цієї конфігурації дорівнює спаду власної потенціальної енергії системи, тобто:

[pic], а при скінченному переміщенні всіх частинок системи

[pic], де [pic] і [pic] – значення потенціальної енергії системи в початковому і кінцевому станах.

Власна потенціальна енергія системи [pic] – величина неадитивна, тобто вона не дорівнює в загальному випадку сумі власних потенціальних енергій її частин. Необхідно врахувати ще й потенціальну енергію взаємодії [pic] окремих частин системи:

[pic], де [pic] – власна потенціальна енергія [pic]-ї частинки системи.

Слід також мати на увазі, що власна потенціальна енергія системи, як і потенціальна енергія взаємодії кожної пари частинок, визначає з точністю до додавання довільної сталої, яка тут є зовсім несуттєвою.

Запишемо формули для розрахунку власної потенціальної енергії системи. Перш за все покажемо, що ця енергія може бути представлена як:

[pic], (1) де [pic] – потенціальна енергія взаємодії [pic]-ї частинки з усіма іншими частинками системи. Тут сума береться по всім частинам системи.

Переконаємося у справедливості цієї формули спочатку для системи з трьох частинок. Вище було показано, що власна потенціальна енергія даної системи [pic]. Перетворимо цю суму наступним чином. Представимо кожний доданок [pic] в симетричному виді:

[pic], або зрозуміло, що [pic]. Тоді:

[pic].

Згрупуємо члени з однаковим першим індексом:

[pic].

Кожна сума в круглих дужках представляє собою потенціальну енергію [pic] взаємодії [pic]-ї частинки з іншими двома. Тому останній вираз можна переписати так:

[pic], що повністю відповідає формулі (1).

Узагальнення отриманого результату на довільну систему очевидне, оскільки зрозуміло, що подібні міркування зовсім не залежать від числа частинок, які складають систему.

Для системи, взаємодія між частинками якої носить гравітаційний або кулонівський характер, формулу (1) можна перетворити і надати їй іншого вигляду, скориставшись поняттям потенціалу. Замінимо в (1) потенціальну енергію [pic]-ї частинки виразом [pic], де [pic] – маса (заряд) [pic]-тої частинки, а [pic] – потенціал, що утворюють всі інші частинки системи в точці знаходження [pic]-тої частинки. Тоді:

[pic].

Якщо розподілення маси (заряду) в системі неперервне, то додавання зводиться до інтегрування:

[pic], де [pic] – об’ємна густина маси (заряду), [pic] – елемент об’єму.

Тут інтегрування проводиться по всьому об’єму, що займають маси (заряди).