Реферат: Законы сохранения в механике

Розглянемо в деякій системі відліку довільну систему частинок. Нехай [pic]-та частинка системи має в даний момент кінетичну енергію [pic]. Приріст кінетичної енергії кожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що діють на цю частинку: [pic]. Знайдемо елементарну роботу, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи:

[pic], де [pic] – сумарна кінетична енергія системи. Зауважимо, що кінетична енергія системи – величина адитивна: вона дорівнює сумі кінетичних енергій окремих частин системи незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.

Отже, приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку виконують всі сили, що діють на всі частинки системи. При елементарному переміщенні всіх частинок:

[pic], (2) а при кінцевому переміщенні:

[pic]. (3)

Рівняння (2) можна представити і в іншій формі поділивши обидві частинки його на відповідний проміжок часу [pic]. Маючи при цьому на увазі, що [pic], отримаємо:

[pic], (4) тобто похідна кінетичної енергії системи по часу дорівнює сумарній потужності всіх сил, які діють на всі частинки системи.

Рівняння (2)-(4) справедливі як в інерціальних, так і в неінерціальних системах відліку. Слід тільки розуміти, що в неінерціальних системах крім роботи сил взаємодії необхідно враховувати і роботу сил інерції.

Класифікація сил.

Відомо, що частинки системи, яка розглядається, можуть взаємодіяти як між собою, так і з тілами, що не входять в дану систему. У зв’язку з цим дані сили взаємодії між частинками системи називають внутрішніми, а сили, які зумовлені дією інших тіл, що не входять в дану систему – зовнішніми. В неінерційній системі відліку до останніх відносять і сили інерції.

Крім того, всі сили поділяють на потенціальні і непотенціальні. Потенціальними називають сили, які залежать при даному характері взаємодії лише від конфігурації механічної системи. Робота цих сил, як було показано, дорівнює спаду потенціальної енергії системи.

До непотенціальних сил відносять так звані дисипативні сили – це сили тертя і опору. Важливою особливістю даних сил є те, що сумарна робота внутрішніх дисипативних сил системи, яка розглядається, від’ємна, причому в будь-якій системі відліку. Доведемо це.

Довільна дисипативна сила може бути представлена у вигляді:

[pic], де [pic] – швидкість даного тіла відносно іншого тіла (або середовища), з яким воно взаємодіє; [pic] – додатній коефіцієнт, який залежить в загальному випадку від швидкості [pic]. Сила [pic] завжди напрямлена протилежно до вектора [pic]. У залежності від вибору системи відліку робота цієї сили може бути як додатною, так і від’ємною. Сумарна ж робота всіх внутрішніх дисипативних сил – величина завжди від’ємна.

Переходячи до доведення цього, відмітимо перш за все, що внутрішні дисипативні сили в даній системі будуть зустрічатися попарно, причому в кожній парі, відповідно до третього закону Ньютона, вони однакові по модулю і протилежні за напрямом. Знайдемо елементарну роботу довільної пари дисипативних сил взаємодії між тілами 1 і 2 в системі відліку, де швидкості цих тіл в даний момент дорівнюють [pic] і [pic]:

[pic].

Тепер враховуємо, що [pic], [pic] – швидкість тіла 1 відносно тіла 2, а також те, що [pic]. Тоді вираз для роботи перетвориться так:

[pic].

Звідси видно, що робота довільної пари внутрішніх дисипативних сил взаємодії завжди від’ємна, а отже і сумарна робота всіх пар внутрішніх дисипативних сил також завжди від’ємна. Таким чином дійсно:

[pic].

Закон збереження енергії.

Вище було показано, що приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи. Поділивши ці сили на зовнішні та внутрішні, а внутрішні – на потенціальні і дисипативні, запишемо попереднє твердження так:

[pic].

Тепер врахуємо, що робота внутрішніх потенціальних сил дорівнює спаду власної потенціальної енергії системи, тобто [pic]. Тоді попередній вираз приймає вигляд:

[pic]. (5) введемо поняття повної механічної енергії системи або просто механічної енергії, як суму кінетичної та потенціальної енергії:

[pic]. (6) очевидно, енергія [pic] залежить від швидкості частинок системи, характеру взаємодії між ними та конфігурації системи. Крім того, енергія [pic], як і потенціальна енергія [pic], визначається з точністю до приросту несуттєвої довільної сталої і є величиною неадитивною, тобто енергія [pic] системи не дорівнює в загальному випадку сумі енергій її окремих частин. Тоді:

[pic], де [pic] – механічна енергія [pic]-тої частини системи, [pic] – потенціальна енергія взаємодії її окремих частин.

Повернемося до формули (5). Перепишемо її з врахуванням (6) у вигляді:

[pic]. (7)